Комментарии к статье №2, Фёдор Афанасьевич Котов, 1623

Редактор сайта (27.10.2021 15:40:24)

О системах счисления. Некоторые наблюдения и идеи

Что турецкий, что персидский, что египетский, что римский, что русский, что шумерский, что аккадский счёт... далее — везде, на протяжении 3 000 (!) лет, вплоть до XVII века — одно и то же: непозиционная (не всегда, но чаще — десятичная) система счисления с использованием букв или иероглифов в качестве символов обозначения цифр.

Тот же Фёдор Афанасьевич — суперразведчик «под крышей» купца Московии XVII века — записывал числа буквами (оригинал — 195 листов, написанных скорописью, размер листа 19,5×15,3 см; бумага пожелтела от времени, в пятнах, местами прожжена. Первые листы (1–4) утрачены, лл. 5–6 сильно повреждены), знал тогдашний фарси. Но не ведомы были в XVII веке ни персам, ни Котову цифры, от шрифта деванагари изобретённые индийцами, то бишь «арабские цифры» и позиционное десятичное счисление. Не ведомы в XVII веке!

Для «полноты ощущений» приведу китайскую десятичную систему записи чисел с примерами (поручиться за достоверность информации на 100 % не могу; пожалуй, только на 98 %).

Говорят, арабские цифры стали известны европейцам в X—XIII вв. Верится с трудом! А, если честно, то не верю вообще. К примеру, в документах Массарии Каффы (оцифрованный документ оцифрованный документ, 1374 год;
(перевод документов Генуи здесь) увидеть арабские цифры невозможно. Иных свидетельств собрано в достаточном объёме и на сайте.

Чтобы ещё более углубить полученные впечатления предлагаю быстренько произвести сложения трёх чисел (1156+999+101), но в китайской системе, «забыв» про значения иероглифов арабскими цифрами:

Не буду мучить тех, кто вошёл в ступор от поставленной задачи (способом, к которому мы привыкли сейчас, задача не решается вообще!).

В моих предположениях привычная сегодня методика счёта (то есть в столбик, с учётом разрядов) была в древности совсем иной: так как понятия разряд числа не существовало, то не было и понятия счёта в столбик. Частично о той методе сказано в работе П. Ф. Каптерева (см. ст. 1 в 20.10.12.s и мои заметки к ней).

И тут очень важно:

• чётко разграничить понятия десятичная система счисления и позиционность / непозиционность системы;
• задуматься над вопросом: почему первые математические исследования проводились в области, которую мы сейчас называем ряды (например, знаменитые ряды Фибоначчи)?

Попробуем решить задачу в стиле XII века.

Пусть охотник принёс купцу 6 связок соболей по 5 штук в каждой. Торговец должен был решить две задачи: посчитать, сколько шкурок итого и умножить затем полученное число на стоимость (разменный эквивалент) одной шкурки. Обе операции — мультипликативные, но реально он производил операции сложения (аддитивные).

Считал он, проверяя каждую связку, наверное, так: раз, два, три, четыре, пять — царапал на бересте одну палочку (или записывал число буквой); шесть, семь, восемь, девять, десять — ставил вторую палочку (или перечёркивал букву, обозначавшую единицу, и писал затем рядом букву, обозначавшую двойку). Далее — в том же духе: двадцать восемь, двадцать девять, тридцать — ставил на шпаргалке букву «шесть» (finita!), и появлялась запись итогового числа 30. Охотник следил за действом и поддакивал.

Пусть за одного соболя купец должен был отдать 11 наконечников для стрел. Следовательно, ему нужно было помножить 30 на 11. Так как счёт был десятичный, то число 11 купец разбивал на 10 и 1, и, далее, продолжал бубнить в том же духе, но уже десятками: «тридцать, шестьдесят, девяносто... (благо буквы для единиц и десятков отличались только дополнительными значками. Например, титлами). Полученное число 300 записывал. Но чтобы прибавить к нему 11, он продолжал устно считать: триста один (ставил крестик, или как иначе), триста два, триста три... и, наконец, «триста и тридцать», так и записывал — «триста и тридцать». Ух!

Оставалось отсчитать 330 наконечников для стрел, то есть расплатиться с охотником.
Уморившись на числе 125, оба счетовода записывали своё достижение, отдыхали, а потом продолжали счёт: сто двадцать шесть, сто двадцать семь...

Понятно, что столь нудная операция скоро предкам наскучила. И первое, что они сообразили, так это разбивать числа. Например, нужно сложить (7 + 8). И это, как оказалось, можно сделать много проще, но предварительно догадавшись, что число 8 можно представить как (3+5).
Тогда дело упрощается: 7 + 8 = 7 + (3 + 5) =(7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15 (и это уже алгебра!).

Так была совершена «Первая революция» в сознании тех, кто каждодневно занимался счётом в силу принадлежности к купечеству, к поповской братии или к мытарям. До позиционной системы счисления оставался один шаг.

«Вторая революция» состояла, на мой взгляд, в создании шпаргалок. Не знаю, как они выглядели, но, похоже, это были матрицы, или их одномерные фрагменты. С их помощью резко сокращалось время, необходимое для многократного сложения одного и того же числа. Я говорю о том, что сегодня учат малые дети: «трижды один — три; трижды два — шесть; трижды три — девять...»

Суть поясняю на рисунке:

«Третья революция» — автоматизация процесса счёта — была логическим развитием второго шага. По сообщению И.-Г. Корба (см. ст. 1 в 20.10.17.s) московиты очень шустро считали на счётах, представлявших из себя доски, где в качестве костяшек использовались зёрна. Возможно, кто-то не знает, но на счётах можно не только складывать, но и умножать, что и демонстрировали с отменной лихостью не только бухгалтеры всего пару столетий назад, но и первые инженеры.

Но самая главная революция свершилась несколько ранее — люди изобрели число ноль. И если запись «54» (буквами) прежде могла означать и «504» и «540» (например, у шумер), то изобретение нуля дало людям возможность поставить всё на своё место.

Но причём здесь ряды?

Числа людей завораживали, при операциях над ними выявлялись закономерности, от осознания которых у них буквально захватывало дух, они подмечали у чисел особенности. К примеру, должны были и появились понятия чётные/нечётные числа, а если смотреть дальше, то мало-помалу начали различать алгебраические, трансцендентные, рациональные, иррациональные, натуральные, мнимые, составные, взаимно простые, взаимно обратные числа. С этими числами предки играли как дети: выстраивали их, то в одну последовательность, то в другую, то вертикально, то горизонтально...

И вот теперь пора вернуться к рядам, но только к моменту изобретения индийцами символов, которые сейчас мы называем арабскими цифрами, и которых было и есть десять. На рисунке: в первом ряду прототипы цифр; во втором — соответствующий символ алфавита хинди; одиннадцатый столбец и есть отражение переворота в мышлении.

Для того, чтобы понять суть переворота человеческого мышления, как говорят, «следите за руками».

Пусть имеем привычный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...31, 32, 33, ...99. Запишем этот ряд несколько иначе, в каждой строке по десятку чисел:

Подметить закономерность (совершенно одинаковые столбики) и ввести в научный оборот понятие разряд числа — шаг напрашивающийся!

Затем осталось навести внешний лоск.

И теперь, отсчитав, к примеру, семьсот сорок одну копейку, было понятно, как в десятичной позиционной системе полученное число отобразить:

Так из непозиционной системы десятичная система счёта превратилась в позиционную. И это была общепланетарная революция, до конца ещё не осознанного масштаба; это был прорыв в культуре счёта, в изменении самой психологии мышления, если угодно.

Но кто был гениальным автором идеи? И когда он реально придумал эту систему счисления? — вопросы без ответов.

#наука #образование #математика #физика #география #химия #системы_счисления #религия #история #культура #интересные_факты #саморазвитие #знаменитости